本节将聚焦于传统划分法（如 K‑Means）与层次法难以应对的几类数据结构，例如非凸簇、不同密度、孤立点及概率混合结构，并介绍如何在 MATLAB 中使用 DBSCAN 与 GMM 方法进行处理。
5. Part III – 密度、概率与谱聚类方法
在实际科研数据中，样本往往不服从高斯分布，簇形状可能是环状、条状、双月型，或者存在较强局部密度梯度。在这种背景下，密度驱动方法（如 DBSCAN）、概率生成模型（如 GMM）以及图谱类方法（如谱聚类）为研究者提供了更具弹性的解决方案。
本节主要介绍两类代表方法：DBSCAN（基于密度） 与 GMM（基于概率）。
5.1 DBSCAN：基于密度的簇检测与离群识别
① 算法核心原理
DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）依靠两个关键参数：
ε（epsilon）：定义邻域半径；minPts：构成“核心点”所需的最小邻居数量。
其主要优势包括：
- 可识别任意形状的簇；
- 可检测离群点（即不属于任何簇的噪声）；
- 不需要预先设定簇数。
② MATLAB 实现
% 设置DBSCAN参数
epsilon = 0.9; % 邻域半径（需调参）
minPts = 5; % 最小邻居数
% 执行DBSCAN
labels_db = dbscan(X, epsilon, minPts);
% 可视化聚类结果（主成分空间中）
[~, score] = pca(X);
figure;
gscatter(score(:,1), score(:,2), labels_db, 'rgbk', 'o', 6);
xlabel('PC1'); ylabel('PC2');
title(['DBSCAN 聚类结果 (ε = ' num2str(epsilon) ', minPts = ' num2str(minPts) ')']);
grid on;其中 labels_db == -1 表示被判定为离群点的样本。为选定合理的 ε 值，推荐绘制 k‑Distance 图（略）。
5.2 GMM：基于概率的软划分方法
① 算法核心原理
GMM（Gaussian Mixture Model）将样本视为由 KK 个高斯分布成分混合而成，每个样本属于每个簇的概率由后验分布计算得出。与 K‑Means 的硬划分不同，GMM 提供 软分配（soft assignment），适合含有边界不清、重叠区域的数据。
模型训练采用 EM 算法迭代更新簇权重、均值与协方差矩阵。
② MATLAB 实现
% 拟定GMM的簇数（如3）
gm = fitgmdist(X, 3, 'CovarianceType', 'full', ...
'RegularizationValue', 1e-5, ...
'Replicates', 10, ...
'Options', statset('Display','final'));
% 对每个样本预测其所属簇（最大后验）
labels_gmm = cluster(gm, X);
% 可视化结果
figure;
gscatter(score(:,1), score(:,2), labels_gmm, 'rgb', 'o', 6);
xlabel('PC1'); ylabel('PC2');
title('GMM 聚类结果（软划分）');
grid on;GMM 还能提供后验概率矩阵 posterior，用于评估每个样本属于各簇的不确定度：
% 每个样本属于3个簇的概率
P = posterior(gm, X); % P(i,j): 第i个样本属于第j簇的概率方法选择与比较
| 特征 | K‑Means | DBSCAN | GMM |
|---|---|---|---|
| 簇形状 | 近球形 | 任意形状 | 椭圆形（高斯假设） |
| 簇数预设 | 是 | 否（自动） | 是 |
| 离群点识别 | 否 | 是 | 否 |
| 边界模糊处理 | 否（硬划分） | 是（通过边界区域） | 是（提供软概率） |
| 适用数据类型 | 中等规模，均匀分布 | 小中规模，有密度结构 | 样本数较大，混合分布假设 |
小贴士：DBSCAN 的
ε值非常敏感，建议使用 k‑distance 图（第 k 近邻距离 vs 样本排序）确定转折点作为初步估计。
小结与过渡
本节展示了两类非划分式聚类方法在 MATLAB 中的应用，分别适用于非凸形结构检测（DBSCAN）与复杂边界建模（GMM）。若样本量适中、分布结构复杂或存在离群点，这些方法相比 K‑Means 和层次聚类更具鲁棒性与适应性。
下一节我们将系统讨论聚类结果的评估指标与诊断手段，包括轮廓系数、Calinski–Harabasz、Adjusted Rand Index、NMI 等评价标准，并讨论如何基于这些指标判断聚类效果的稳定性与科学合理性。
